Question

4．求已知點P（5，0）及圓C：x²+y²-4x-8y-5=0，若直線l過點P且被圓C截得的弦AB長是8，則直線 l的方程是x-5=0或7x+24y-35=0．

Answer 1

分析 當直線l₂的斜率不存在時，利用垂徑定理算出弦AB的長為8，此時l₂方程為x=5符合題意；當直線l₂的斜率存在時設l₂的方程為y=k（x-5），利用點到直線的距離公式和垂徑定理加以計算，可得k=-$\frac{7}{24}$，得到l₂方程為7x+24y-35=0．最后加以綜合即可得到滿足條件的直線l₂的方程．

解答 解：①當直線l₂的斜率不存在時，其方程為x=5，
∵圓心C到x=5距離等于3，
∴弦AB的長為2$\sqrt{25-9}$=8，滿足題意；
②當直線l₂的斜率存在時，設l₂方程為y=k（x-5），
∵弦AB長是8，∴圓心C到直線l₂的距離d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{1}{2}|AB|）^{2}}$=3，
∵l₂方程為y=k（x-5），即kx-y-5k=0，
∴$\frac{|-3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，解之得k=-$\frac{7}{24}$，可得直線l₂方程是7x+24y-35=0
綜上所述，可得直線l₂方程為x-5=0或7x+24y-35=0，
故答案為x-5=0或7x+24y-35=0．

點評 本題給出已知圓和點P，求被圓截得弦長為8的直線方程．著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．