Question

13．如圖，正方形ABCD所在平面與直角三角形ABE所在的平面相互垂直，AE⊥AB，設(shè)M，N分別是DE，AB的中點，已知AB=2，AE=1．
（1）求證：MN∥平面BEC；
（2）求三棱錐N-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）取EC中點F，連接MF，BF．由線線平行證明線面平行；
（2）證明CB⊥平面ABE，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐N-BCE的體積．

解答 證明：（1）取EC中點F，連接MF，BF．
∵MF為△CDE的中位線，
∴MF∥CD，MF=$\frac{1}{2}$CD，
又∵NB∥CD，NB=$\frac{1}{2}$CD，
∴NB∥MF，NB=MF
∴四邊形NBFM為平行四邊形，
∴MN∥BF，又∵BF⊆平面BEC，MN?平面BEC，
∴MN∥平面BEC；
解：（2）∵正方形ABCD所在平面與直角三角形ABE所在的平面相互垂直，正方形ABCD所在平面與直角三角形ABE所在的平面相交于AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABE，
∴V_N-BCE=V_C-BNE=$\frac{1}{3}{S}_{△BEN}•CB$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•1•2$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題綜合考查了空間中線面的位置關(guān)系，考查體積的計算，正確轉(zhuǎn)換底面是關(guān)鍵，屬于中檔題．