Question

1．設(shè)f（x）=|lnx|，a，b為實(shí)數(shù)，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；     
（2）若a，b滿足f（a）=f（b），求證：①a•b=1；②$\frac{a+b}{2}＞1$；        
（3）在（2）的條件下，求證：由關(guān)系式$f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）$所得到的關(guān)于b的方程h（b）=0，存在b₀∈（3，4），使h（b₀）=0．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=1，得lnx=±1，即可求方程f（x）=1的解；     
（2）①證明ln（ab）=0即可；②令$ϕ（x）=\frac{1}+b$，（b∈（1，+∞）），證明ϕ（b）在（1，+∞）上為增函數(shù)，即可證明結(jié)論；
（3）令h（b）=$\frac{1}{b^2}+{b^2}+2-4b$，因?yàn)閔（3）＜0，h（4）＞0，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：由f（x）=1，得lnx=±1，所以x=e或$x=\frac{1}{e}$…．（2分）
（2）證明：①因?yàn)閒（a）=f（b），且0＜a＜b，可判斷a∈（0，1），b∈（1，+∞），
所以-lna=lnb，即lna+lnb=0，即ln（ab）=0，則ab=1…（4分）
②由①得$\frac{a+b}{2}=\frac{{\frac{1}+b}}{2}$，令$ϕ（x）=\frac{1}+b$，（b∈（1，+∞））
任取b₁，b₂，且1＜b₁＜b₂，
因?yàn)?#981;（b₁）-ϕ（b₂）=$（\frac{1}{b_1}+{b_1}）-$$（\frac{1}{b_2}+{b_2}）$
=$（\frac{1}{b_1}-\frac{1}{b_2}）+（{b_1}-{b_2}）$=$\frac{{{b_2}-{b_1}}}{{{b_1}{b_2}}}+（{b_1}-{b_2}）$=（b₂-b₁）$（\frac{{1-{b_1}{b_2}}}{{{b_1}{b_2}}}）$
∵1＜b₁＜b₂，∴b₂-b₁＞0，1-b₁b₂＜0，b₁b₂＞0，
∴ϕ（b₁）-ϕ（b₂）＜0，
∴ϕ（b）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴ϕ（b）＞ϕ（1）=2，∴$\frac{a+b}{2}＞1$…（8分）
（3）證明：∵$f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）$，$b＞1，\frac{a+b}{2}＞1$，∴$lnb=2ln\frac{a+b}{2}=ln{（\frac{a+b}{2}）^2}$，
∴$b={（\frac{a+b}{2}）^2}$，得4b=a²+b²+2ab，
又a•b=1，∴$\frac{1}{b^2}+{b^2}+2-4b=0$．…（10分）
令h（b）=$\frac{1}{b^2}+{b^2}+2-4b$，因?yàn)閔（3）＜0，h（4）＞0，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件可知，函數(shù)h（b）在（3，4）內(nèi)一定存在零點(diǎn)，
即存在b₀∈（3，4），使h（b₀）=0…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)方程，考查導(dǎo)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．