Question

6．對(duì)任意x∈[0，$\frac{π}{6}$]，任意y∈（0，+∞），不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，3]
• B． [-2$\sqrt{2}$，3]
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [-3，3]

Answer 1

分析 將不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立轉(zhuǎn)化為$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥asinx+2-2sin²x恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$，利用基本不等式可求得f（y）_min=3，于是問題轉(zhuǎn)化為asinx+2-2sin²x≤3恒成立．通過對(duì)sinx＞0、sinx=0分類討論求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：任意x∈[0，$\frac{π}{6}$]，y∈（0，+∞），
不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立?$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥asinx+2-2sin²x恒成立，
令f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$，
則asinx+2-2sin²x≤f（y）_min，
∵y＞0，∴f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥2$\sqrt{\frac{y}{4}•\frac{9}{y}}$=3（當(dāng)且僅當(dāng)y=6時(shí)取“=”），f（y）_min=3．
∴asinx+2-2sin²x≤3，即asinx-2sin²x≤1恒成立．
∵x∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴sinx∈[0，$\frac{1}{2}$]，
當(dāng)sinx=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，不等式asinx-2sin²x≤1恒成立；
當(dāng)sinx＞0時(shí)，不等式asinx-2sin²x≤1化為a≤2sinx+$\frac{1}{sinx}$恒成立，
令sinx=t，則0＜t≤$\frac{1}{2}$，
再令g（t）=2t+$\frac{1}{t}$（0＜t≤$\frac{1}{2}$），則a≤g（t）_min．
由于g′（t）=2-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，
∴g（t）=2t+$\frac{1}{t}$在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，
因此，g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=3，
∴a≤3．
綜上，a≤3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，將不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立轉(zhuǎn)化為$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥asinx+2-2sin²x恒成立是基礎(chǔ)，令f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$，求得f（y）_min=3是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．