Question

10．某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
天數(shù)	2	16	36	25	7	4

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；
（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？

Answer 1

分析 （1）由題意知X的可能取值為200，300，500，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．
（2）當n≤200時，Y=n（6-4）=2n≤400，EY≤400；當200＜n≤300時，EY≤1.2×300+160=520；當300＜n≤500時，n=300時，（EY）_max=640-0.4×300=520；當n≥500時，EY≤1440-2×500=440．從而得到當n=300時，EY最大值為520元．

解答 解：（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，
P（X=200）=$\frac{2+16}{90}$=0.2，
P（X=300）=$\frac{36}{90}=0.4$，
P（X=500）=$\frac{25+7+4}{90}$=0.4，
∴X的分布列為：

X	200	300	500
P	0.2	0.4	0.4

（2）當n≤200時，Y=n（6-4）=2n≤400，EY≤400，
當200＜n≤300時，
若x=200，則Y=200×（6-4）+（n-200）×2-4）=800-2n，
若x≥300，則Y=n（6-4）=2n，
∴EY=p（x=200）×（800-2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800-2n）+0.8=1.2n+160，
∴EY≤1.2×300+160=520，
當300＜n≤500時，若x=200，則Y=800-2n，
若x=300，則Y=300×（6-4）+（n-300）×（2-4）=1200-2n，
∴當n=300時，（EY）_max=640-0.4×300=520，
若x=500，則Y=2n，
∴EY=0.2×（800-2n）+0.4（1200-2n）+0.4×2n=640-0.4n，
當n≥500時，Y=$\left\{\begin{array}{l}{800-2n，x=200}\\{1200-2n，x=300}\\{2000-2n，x=500}\end{array}\right.$，
EY=0.2（800-2n）+0.4（1200-2n）+0.4（2000-2n）=1440-2n，
∴EY≤1440-2×500=440．
綜上，當n=300時，EY最大值為520元．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，考查數(shù)學(xué)期望的最大值的求法，考查函數(shù)、離散型隨機變量分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．