Question

18．已知函數(shù) f（x）=e^x（e^x-a）-a²x．
（1）討論 f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求出函數(shù)的最小值，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=e^x（e^x-a）-a²x=e^2x-e^xa-a²x，
∴f′（x）=2e^2x-ae^x-a²=（2e^x+a）（e^x-a），
①當a=0時，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增，
②當a＞0時，e^x-a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，
當x＜lna時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當x＞lna時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
③當a＜0時，2e^x+a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（-$\frac{a}{2}$），
當x＜ln（-$\frac{a}{2}$）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當x＞ln（-$\frac{a}{2}$）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
綜上所述，當a=0時，f（x）在R上單調(diào)遞增，
當a＞0時，f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
當a＜0時，f（x）在（-∞，ln（-$\frac{a}{2}$））上單調(diào)遞減，在（ln（-$\frac{a}{2}$），+∞）上單調(diào)遞增，
（2）①當a=0時，f（x）=e^2x＞0恒成立，
②當a＞0時，由（1）可得f（x）_min=f（lna）=-a²lna≥0，
∴l(xiāng)na≤0，
∴0＜a≤1，
③當a＜0時，由（1）可得f（x）_min=f（ln（-$\frac{a}{2}$））=$\frac{3{a}^{2}}{4}$-a²ln（-$\frac{a}{2}$）≥0，
∴l(xiāng)n（-$\frac{a}{2}$）≤$\frac{3}{4}$，
∴-2${e}^{\frac{3}{4}}$≤a＜0，
綜上所述a的取值范圍為[-2${e}^{\frac{3}{4}}$，1]

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)最值的關(guān)系，以及分類討論的思想，考查了運算能力和化歸能力，屬于中檔題