Question

5．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）在區(qū)間（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上單調(diào)，當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值5，當(dāng)x=$\frac{3π}{2}$時，f（x）取得最小值-1，
（1）求f（x）的解析式
（2）當(dāng)x∈[0，4π]時，函數(shù)g（x）=2^x|f（x）|-（a+1）2^x+1有8個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值性，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 （1）解：由題意可知，A+B=5，-A+B=-1，∴A=3，B=2
∵$\frac{2π}{ω}=2（\frac{3π}{2}-\frac{π}{2}）$∴ω=1∴f（x）=3sin（x+φ）+2
又∵$f（\frac{π}{2}）=5，即sin（\frac{π}{2}+φ）=1且|φ|＜\frac{π}{2}∴φ=0$
∴f（x）的解析式為f（x）=3sinx+2
（2）當(dāng)x∈[0，4π]時，函數(shù)g（x）有8個零點(diǎn)，
∵2^x＞0，∴原方程等價于當(dāng)x∈[0，4π]時，方程|f（x）|=2（a+1）有8個不同的解．
即y=|f（x）|與y=2（a+1）有8個不同的交點(diǎn)．畫出對應(yīng)的圖象，如圖所示：
則0＜2（a+1）＜1，解得$-1＜a＜-\frac{1}{2}$
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍時$-1＜a＜-\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的解析式以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．