5.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B,(A>0,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$,x∈R)在區(qū)間($\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{2}$)上單調(diào),當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時,f(x)取得最大值5,當(dāng)x=$\frac{3π}{2}$時,f(x)取得最小值-1,
(1)求f(x)的解析式
(2)當(dāng)x∈[0,4π]時,函數(shù)g(x)=2x|f(x)|-(a+1)2x+1有8個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值性,建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.
(2)利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

解答 (1)解:由題意可知,A+B=5,-A+B=-1,∴A=3,B=2
∵$\frac{2π}{ω}=2(\frac{3π}{2}-\frac{π}{2})$∴ω=1∴f(x)=3sin(x+φ)+2
又∵$f(\frac{π}{2})=5,即sin(\frac{π}{2}+φ)=1且|φ|<\frac{π}{2}∴φ=0$
∴f(x)的解析式為f(x)=3sinx+2
(2)當(dāng)x∈[0,4π]時,函數(shù)g(x)有8個零點(diǎn),
∵2x>0,∴原方程等價于當(dāng)x∈[0,4π]時,方程|f(x)|=2(a+1)有8個不同的解.
即y=|f(x)|與y=2(a+1)有8個不同的交點(diǎn).畫出對應(yīng)的圖象,如圖所示:
則0<2(a+1)<1,解得$-1<a<-\frac{1}{2}$
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍時$-1<a<-\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)與方程的應(yīng)用,求出函數(shù)的解析式以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

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