Question

11．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}\right.$（a＞b＞0，θ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=r（r＞0）．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標方程，并討論兩曲線公共點的個數；
（2）若b＜r＜a，求由兩曲線C₁與C₂交點圍成的四邊形面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）方程化為普通方程，即可討論兩曲線公共點的個數；
（2）若b＜r＜a，兩曲線均關于x，y軸、原點對稱，四邊形也關于x，y軸、原點對稱，即可求由兩曲線C₁與C₂交點圍成的四邊形面積的最大值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}\right.$（a＞b＞0，θ為參數），普通方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
曲線C₂的極坐標方程為ρ=r（r＞0），直角坐標方程為x²+y²=r²，
r=a或b時，兩曲線有兩個公共點；
b＜r＜a時，兩曲線有四個公共點；
0＜r＜b或r＞a時，兩曲線無公共點；
（2）兩曲線均關于x，y軸、原點對稱，
∴四邊形也關于x，y軸、原點對稱，
設四邊形位于第一象限的點為（acosθ，bsinθ），
則四邊形的面積為S=4acosθ•bsinθ=2absin2θ≤2ab，
當且僅當sin2θ=1，即θ=45°時，等號成立．

點評 本題考查參數方程、極坐標方程與普通方程的轉化，考查三角函數知識的運用，屬于中檔題．