Question

3．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中（單位長度相同），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=8cosθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點，求出A，B的坐標(biāo)，即可求弦長|AB|．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=8cosθ，直角坐標(biāo)方程為y²=8x；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為y=$\sqrt{3}$（x-2），
代入拋物線方程，可得3x²-20x+12=0，∴x=6或$\frac{2}{3}$，
∴A（6，4$\sqrt{3}$），B（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴|AB|=$\sqrt{（6-\frac{2}{3}）^{2}+（4\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．