Question

17．如圖，某公司要在A，B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長(zhǎng)35米，CB長(zhǎng)為80米，設(shè)A，B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α和β．
（1）若α=30°，β=15°，求AD的長(zhǎng)．
（2）設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向（CD垂直于AB），若要求α≥2β，問(wèn)CD的長(zhǎng)至多為多少？

Answer 1

分析 （1）先求出∠ADB=135°，由此利用正弦定理能求出AD．
（2）由$α≥2β且0＜2β≤α＜\frac{π}{2}$，得到tanα≥tan2β，由此能求出CD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵α=30°，β=15°，∴∠ADB=135°
∵$\frac{AB}{{sin{{135}°}}}=\frac{AD}{{sin{{15}°}}}$
∴$AD=\frac{{115sin{{15}°}}}{{sin{{135}°}}}=115\sqrt{2}sin（{45°}-{30°}）$=$\frac{{115（\sqrt{3}-1）}}{2}（米）$
（2）∵$α≥2β且0＜2β≤α＜\frac{π}{2}$
∴$tanα≥tan2β，即\frac{|CD|}{35}≥\frac{{2×\frac{|CD|}{80}}}{{1-\frac{{|CD{|^2}}}{6400}}}$
解得$|CD|≤20\sqrt{2}$，
∴CD的長(zhǎng)至多約為$20\sqrt{2}$米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形中邊長(zhǎng)的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．