Question

9．已知邊長為2的正方形ABCD的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，二面角O-AB-C的平面角為60^°，則球O的體積為（　�。�

• A． $\frac{{20\sqrt{5}}}{3}π$
• B． $\frac{{64\sqrt{2}}}{3}π$
• C． 20π
• D． 32π

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，由二面角O-AB-C的平面角為60^°，計(jì)算出球的體積．即可求解

解答 解：如圖，令球心為O，正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)為H，
AB中點(diǎn)為M，可得∠OMH就是二面角O-AB-C的平面角
∴在Rt△OHM中，由MH=1，可得OM=2
則球半徑R=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴球O的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{20\sqrt{5}}{3}π$
故選；A

點(diǎn)評 本題考查了二面角的計(jì)算，球的結(jié)構(gòu)特征、體積，屬于基礎(chǔ)題．