Question

12．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的大�。�
（2）若不等式${x^2}-\sqrt{6}x+1＜0$的解集是{x|a＜x＜c}，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）由bcosC=（2a-c）cosB，得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，從而sinA=2sinAcosB，進(jìn)而$cosB=\frac{1}{2}$，由此能求出B．
（2）依題意a、c是方程${x^2}-\sqrt{6}x+1=0$的兩根，從而$a+c=\sqrt{6}$，ac=1，由余弦定理得$b=\sqrt{3}$，由此能求出△ABC的周長．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB，
∴由bcosC=（2a-c）cosB，得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB…（1分）
即sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB…（2分）
即sinA=2sinAcosB，∴$cosB=\frac{1}{2}$，…（3分）
又B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$…（4分）
（2）依題意a、c是方程${x^2}-\sqrt{6}x+1=0$的兩根，
∴$a+c=\sqrt{6}$，ac=1…（5分）
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=6-3=3，
∴$b=\sqrt{3}$，…（7分）
∴△ABC的周長為$\sqrt{6}+\sqrt{3}$．           …（8分）

點(diǎn)評 本題考查角的大小的求法，考查三角形的周長的求法，考查正弦函數(shù)加法定理、同角三角函數(shù)恒等式、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．