Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=-1處有極值8，
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)的另一個極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出檢驗即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的另一個極值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
若函數(shù)f（x）在x=-1處有極值8，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=8}\\{f′（-1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1+a-b{+a}^{2}=8}\\{3-2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
經(jīng)檢驗A=3，B=3，不合題意，舍去，
故a=-2，b=-7；
（2）由（1）得：f（x）=x³-2x²-7x+4，
f′（x）=3x²-4x-7=（3x-7）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{7}{3}$或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{7}{3}$，
故f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，$\frac{7}{3}$）遞減，在（$\frac{7}{3}$，+∞）遞增，
故f（x）的另一個極值是f（$\frac{7}{3}$）=-$\frac{284}{27}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．