Question

16．過點（1，1）且與曲線y=x³相切的切線方程為（　�。�

• A． y=3x-2
• B． y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$
• C． y=3x-2或y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$
• D． y=3x-2或y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)切點為（x₀，y₀），根據(jù)解析式求出導(dǎo)數(shù)、y₀，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式方程求出切線方程，把點（1，1）代入切線方程通過因式分解求出x，代入切線方程化簡即可．

解答 解：（1）設(shè)切點為（x₀，y₀），由題意得y=3x²，y₀=x₀³，
則切線的斜率k=3x₀²，
∴切線方程是：y-x₀³=3x₀²（x-x₀），①
∵切線過點（1，1），∴1-x₀³=3x₀²（1-x₀），
化簡得，2x₀³-3x₀²+1=0，
2（x₀³-1）-3（x₀²-1）=0，
則（x₀-1）（2x₀²-x₀-1）=0，
解得x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$，代入①得：3x-y-2=0或3x-4y+1=0，
∴切線方程為3x-y-2=0或3x-4y+1=0．
故選：C．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即點P處的切線的斜率是該點出的導(dǎo)數(shù)值，以及切點在曲線上和切線上的應(yīng)用，注意在某點處的切線和過某點的切線的區(qū)別，考查化簡、計算能力．