Question

11．已知多面體ABCDE中，底面△ABC為等邊三角形，邊長為2，DE∥AC，AE∥DO，AE⊥面ABC，O為AC的中點，EA=1．
（1）若P為AB的中點，求證：EP∥面BDC；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為原點，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EP∥面BDC．
（2）求出平面BDE的法向量和平面BDC的法向量，利用向量法能求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵多面體ABCDE中，底面△ABC為等邊三角形，邊長為2，
DE∥AC，AE∥DO，AE⊥面ABC，O為AC的中點，EA=1，
∴DO⊥平面ABC，BO⊥AC，
以O(shè)為原點，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），E（0，-1，1），D（0，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{EP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
設(shè)平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}$=0，EP?平面BDC，
∴EP∥面BDC．
解：（2）$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{3}$，-1，1），
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-\sqrt{3}a-b+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
設(shè)二面角E-BD-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角E-BD-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．