Question

7．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于點(diǎn)A，P，若|AP|=$\frac{a}{3}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{9}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線x=c與雙曲線和漸近線相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合|AP|=$\frac{a}{3}$，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：過(guò)F作x軸的垂線，在第一象限與雙曲線交于點(diǎn)A，
令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（c，$\frac{^{2}}{a}$），
雙曲線過(guò)第一象限的漸近線為y=$\frac{a}$x，當(dāng)x=c時(shí)，y=$\frac{bc}{a}$，即P（c，$\frac{bc}{a}$），
則AP=$\frac{bc}{a}$-$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{bc-^{2}}{a}$=$\frac{a}{3}$，
即3bc-3b²=a²，
即3bc-3b²=c²-b²，
得c²-3bc+2b²=0，
得c=b（舍）或c=2b，
則a=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{3}b}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合|AP|的長(zhǎng)度建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．