Question

13．為了解某地區(qū)居民用水情況，通過抽樣，獲得了100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，1），[1，2）…，[4，5]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）估計這100位居民月均用水量的樣本平均數(shù)x和樣本方差s²（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，保留1位小數(shù)）；
（2）若以樣本頻率作為概率，從該地區(qū)居民（人數(shù)很多）中任選3人，記月均用水量小于2噸的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能估計這100位居民月均用水量的樣本平均數(shù)和樣本方差．
（2）月均用水量小于2噸的人數(shù)所占頻率為0.2，以樣本頻率作為概率，從該地區(qū)居民（人數(shù)很多）中任選3人，記月均用水量小于2噸的人數(shù)為隨機變量X，則X～B（3，0.2），由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖估計這100位居民月均用水量的樣本平均數(shù)：
x=0.5×0.05+1.5×0.15+2.5×0.25+3.5×0.4+4.5×0.15=2.95≈3.0．
樣本方差s²=（0.5-3）²×0.05+（1.5-3）²×0.15+（2.5-3）²×0.25+（3.5-3）²×0.4+（4.5-3）²×0.15≈1.2．
（2）月均用水量小于2噸的人數(shù)所占頻率為0.2，
以樣本頻率作為概率，從該地區(qū)居民（人數(shù)很多）中任選3人，記月均用水量小于2噸的人數(shù)為隨機變量X，
則X～B（3，0.2），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}0．{8}^{3}$=0.512，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×0.2×0．{8}^{2}$=0.384，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×0．{2}^{2}×0.8$=0.096，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}×0．{2}^{3}$=0.008，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.512	0.384	0.096	0.008

E（X）=0×0.512+1×0.384+2×0.096+3×0.008=0.6．

點評 本題考查頻率分直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的概率分布數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．