Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax+b，（a，b∈R）
（1）討論函數(shù)y=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果$0≤a≤\frac{1}{2}，b=1$，求證：當(dāng)x≥0時(shí)，$\frac{1}{f（x）}+\frac{x}{g（x）}≥1$．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類討論，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出，
（2）原不等式等價(jià)于（e^-x-1）（αx+1）+x≥0，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)和最值得關(guān)系即可證明

解答 解：（l）y=f（x）+g（x）=e^x+ax+b，x∈R，y'=e^x+a，
若a≥0，則y'＞0所以函數(shù)y=f（x）+g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞），
若a＜0，令y'＞0，得x＞ln（-a），令y'＜0，得x＜ln（-a），
所以函數(shù)y=f（x）+g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（ln（-a），+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，ln（-a））
（2）當(dāng)$0≤a≤\frac{1}{2}，b=1$，x≥0時(shí)，
要證$\frac{1}{f（x）}+\frac{x}{g（x）}≥1$，
即證${e^{-x}}+\frac{x}{ax+1}≥1$，
即證e^-x（ax+1）+x≥ax+1，
即證（e^-x-1）（αx+1）+x≥0，
設(shè)h（x）=（e^-x-1）（ax+1）+x，則h（0）=0，h'（x）=e^-x（a-1-ax）+1-a，
下證e^x≥x+1，令ϕ（x）=e^x-x-1，則ϕ'（x）=e^x-1，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，ϕ'（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ϕ'（x）＞0，
所以[ϕ（x）]_min=ϕ（0）=0，
所以e^x≥x+1，即-x≥1-e^x，
所以h'（x）=e^-x（a-1-ax）+1-a≥e^-x[a-1+a（1-e^x）]+1-a=e^-x（2a-1）+1-2a=（e^-x-1）（2a-1）≥0，
所以h（x）在[0+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（0）=0，
所以當(dāng)x≥0時(shí)，$\frac{1}{f（x）}+\frac{x}{g（x）}≥1$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，考查了函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，不等式的證明．綜合性較強(qiáng)，難度較大．