Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，首項(xiàng)a₁=1，2a₁，a₂+1，a₃+3成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=（sin$\frac{2nπ}{3}$）•a_n，求數(shù)列{b_n}的前3n項(xiàng)和T_3n；
（Ⅲ）P_n為數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和，比較P_n與$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知（a₂+1）²=2a₁（a₃+3），從而求出公差d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由$_{n}=sin\frac{2nπ}{3}•{a}_{n}$，知到數(shù)列{b_n}的前3n項(xiàng)和T_3n=$\frac{\sqrt{3}}{2}•1+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）•3+0•5+…+\frac{\sqrt{3}}{2}•（-6n-5）$+$（-\frac{\sqrt{3}}{2}）•（6n-3）+0•（6n-1）$，由此能求出結(jié)果．
（Ⅲ）由$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂項(xiàng)求和法求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和P_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，設(shè)f（n）=$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$，則f（n+1）-f（n）=$\frac{{2}^{n}[n（n-2）-1]}{[n（n+1）]^{2}}$，由此能比較P_n與$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$的大�。�

解答 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，首項(xiàng)a₁=1，2a₁，a₂+1，a₃+3成等比數(shù)列，
∴由已知（a₂+1）²=2a₁（a₃+3），
∴（1+d+1）²=2（1+2d+3），
則d²=2d，又∵d＞0，∴d=2，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）∵$_{n}=sin\frac{2nπ}{3}•{a}_{n}$，
∴數(shù)列{b_n}的前3n項(xiàng)和：
T_3n=$sin\frac{2π}{3}•{a}_{1}+sin\frac{4π}{3}•{a}_{2}+sin\frac{6π}{3}•{a}_{3}$+…+$sin\frac{2（3n-2）π}{3}•{a}_{3n-2}$+sin$\frac{3（3n-1）π}{3}{a}_{3n-1}$+sin$\frac{6nπ}{3}{a}_{3n}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}•1+（-\frac{\sqrt{3}}{2}）•3+0•5+…+\frac{\sqrt{3}}{2}•（-6n-5）$+$（-\frac{\sqrt{3}}{2}）•（6n-3）+0•（6n-1）$
=-$\sqrt{3}n$．
（Ⅲ）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和：
P_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
設(shè)f（n）=$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$，則f（n+1）-f（n）=$\frac{{2}^{n}[n（n-2）-1]}{[n（n+1）]^{2}}$，
當(dāng)n≥3時(shí)，f（n+）-f（n）＞0，∴當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）單調(diào)遞增，
∴f（n）≥f（3）=$\frac{8}{9}$，而g（n）＜$\frac{1}{2}$，
∴n≥3時(shí)，f（n）＞g（n），
經(jīng)檢驗(yàn)，n=1，2時(shí)，仍有f（n）＞g（n），
綜上，P_n＜$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、裂項(xiàng)求和法、構(gòu)造法、作差法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新應(yīng)用能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．