Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函數(shù)
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)定義f（-x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值，f（-1）=-f（1），求a的值；
（2）結(jié)合單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識(shí)求出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴b=1，
∵f（-1）=-f（1），∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{1-2}{2+a}$，∴a=1；
（2）由（1）知f（x）=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-2xln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＜0
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
所以（t-2t²）+f（-k）＞0等價(jià)于t-2t²＜k，
∴k＞t-2t²=-2${（t-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$對(duì)任意t∈R恒成立，
∴k＞$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時(shí)考查一元二次不等式恒成立問(wèn)題的解決策略，是一道綜合題．