Question

7．某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中前三段的頻率成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求圖中實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若該校高一年級共有學(xué)生640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80分的人數(shù)；
（Ⅲ）若從樣本中數(shù)學(xué)成績在[40，50）與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直方圖及等比數(shù)列性質(zhì)求出b=0.030，由此能求出a．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖能求出成績不低于80分的人數(shù)．
（Ⅲ）兩個分數(shù)段的學(xué)生分別為2人和4人，從6人中選2人，共有m=${C}_{6}^{2}=15$種等可能性選法，兩人成績差的絕對值大于10的選法有n=${C}_{2}^{1}•{C}_{4}^{1}=8$種選法，由此能求出這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵頻率分布直方圖中前三段的頻率成等比數(shù)列．
∴由直方圖及題意得（10b）²=0.05×0.20，
解得b=0.030，
∴a=0.1-0.005-0.010-0.020-0.025-0.010=0.030．
（Ⅱ）成績不低于80分的人數(shù)估計為640×（0.025+0.010）×10=224．
（Ⅲ）兩個分數(shù)段的學(xué)生分別為2人和4人，
從6人中選2人，共有m=${C}_{6}^{2}=15$種等可能性選法，
兩人成績差的絕對值大于10的選法有n=${C}_{2}^{1}•{C}_{4}^{1}=8$種選法，
∴這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的概率：
p=$\frac{m}{n}=\frac{8}{15}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．