Question

15．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC=BC=5，AB=6，M是CC₁中點(diǎn)，CC₁=8．
（1）求證：平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁；
（2）求平面AB₁M與平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁B，交AB₁于點(diǎn)P，取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)CN，PN，MP，推導(dǎo)出四邊形MCNP是平行四邊形，從而CN∥MP，進(jìn)而CC₁⊥CN，由AA₁∥CC₁，知CN⊥AA₁，從而CN⊥平面A₁ABB₁，進(jìn)而MP⊥平面A₁ABB₁，由此能證明平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
（2）以N為原點(diǎn)，NA為x軸，CN為y軸，NP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AB₁M與平面ABC所成二面角的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)A₁B，交AB₁于點(diǎn)P，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ABB₁A₁是矩形，∴P是A₁B的中點(diǎn)，
取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)CN，PN，MP，
則NP∥CM，且NP=CM，∴四邊形MCNP是平行四邊形，
∴CN∥MP，
又AC=BC，∴CN⊥AB，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥CN，
又AA₁∥CC₁，∴CN⊥AA₁，
∴CN⊥平面A₁ABB₁，∴MP⊥平面A₁ABB₁，
∵M(jìn)P?平面AB₁M，∴平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
解：（2）以N為原點(diǎn)，NA為x軸，CN為y軸，NP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AC=BC=5，AB=6，M是CC₁中點(diǎn)，CC₁=8，
∴A（3，0，0），M（0，-4，4），B₁（-3，0，8），
$\overrightarrow{AM}$=（-3，-4，4），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-6，0，8），
設(shè)平面AB₁M的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-3x-4y+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-6x+8z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，0，3），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面AB₁M與平面ABC所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
∴平面AB₁M與平面ABC所成二面角的正弦值為$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的益關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．