Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點，且PA=AD．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求證：平面PEC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中點G，連結FG、EG，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，AF∥平面PCE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需證明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．

解答 證明：（Ⅰ）取PC的中點G，連結FG、EG，
∴FG為△CDP的中位線，F(xiàn)G∥CD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$CD．
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，∴AE∥CD，AE=$\frac{1}{2}$CD．
∴FG=AE，F(xiàn)G∥AE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，
∴AF∥平面PCE；  
（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PD
PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又因為CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD
∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC
由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC
又EG?平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．

點評 本題考查了空間線面平行、面面垂直的判定，屬于中檔題．