Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²lnax（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=e時(shí)，證明：t＞0時(shí)，存在唯一的s，使ts²+t²=f（s）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=2xlna+2xlnx+x，由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a\sqrt{e}}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e\sqrt{e}}$時(shí)，f（x）＜0，ts²+t²＞0，不存在S，使ts²+t²=f（s）；當(dāng)x≥$\frac{1}{e\sqrt{e}}$時(shí)，令h（x）=f（x），tx²-t²=x²lnex-tx²-t²，x∈[$\frac{1}{e\sqrt{e}}$，+∞），h′（x）=2xlnxex+x，tx=x（2lnx+3-2t），令M（x）=2lnx+3-2t，則M（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e\sqrt{e}}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，由此能證明t＞0時(shí)，存在唯一的s，使ts²+t²=f（s）．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²lnax（a＞0），
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵函數(shù)f（x）=x²lnax=x²lna+x²lnx，
∴f′（x）=2xlna+2xlnx+x，由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a\sqrt{e}}$，
由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{a\sqrt{e}}$，由f′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{a\sqrt{e}}$，
∴f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a\sqrt{e}}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{a\sqrt{e}}$，+∞）．
證明：（Ⅱ）①當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e\sqrt{e}}$時(shí)，f（x）＜0，ts²+t²＞0，此時(shí)，不存在S，使ts²+t²=f（s）．
②當(dāng)x≥$\frac{1}{e\sqrt{e}}$時(shí)，令h（x）=f（x），tx²-t²=x²lnex-tx²-t²，x∈[$\frac{1}{e\sqrt{e}}$，+∞），
h′（x）=2xlnxex+x，tx=x（2lnx+3-2t），
令M（x）=2lnx+3-2t，則M（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e\sqrt{e}}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∵M(jìn)（$\frac{1}{e\sqrt{e}}$）=-2t＜0，M（e^t）=3＞0，
∴?x₀∈（$\frac{1}{e\sqrt{e}}，{e}^{t}$），使M（x₀）=0，
∴$x∈（\frac{1}{e\sqrt{e}}，{x}_{0}）$，M（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
$x∈（{x}_{0}，{e}^{t}）$，M（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（x₀）＜h（$\frac{1}{e\sqrt{e}}$）＜0，且h（e^t+t）＞（t+1）x²-tx²-t²=x²-t²=（e^t+t）²-t²＞0，
故t＞0時(shí)，存在唯一的s，使ts²+t²=f（s）．
（其中e^t+t也可取大于e^t+t，或max{t，e^t+t}等值）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式、函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類(lèi)與整合思想，是中檔題．