Question

7．如圖，點(diǎn)A（2，0），直線l垂直y軸，垂足為點(diǎn)B，線段AB的垂直平分線與l相交于點(diǎn)C，
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）若P為點(diǎn)C的軌跡上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為拋物線x²=y-4上的一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，即可求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）求出直線OQ：（t²+4）x-ty=0，P到直線OQ的距離，表示面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)C（x，y），則|BC|=|x|，
由題意，|AC|=|BC|，∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=|x|，
化簡(jiǎn)得點(diǎn)C的軌跡方程為y²=4（x-1）；
（Ⅱ）設(shè)P（s²+1，2s），Q（t²，t+4），則直線OQ：（t²+4）x-ty=0，
P到直線OQ的距離h=$\frac{|（{t}^{2}+4）（{s}^{2}+1）-2ts|}{\sqrt{（{t}^{2}+4）^{2}+{t}^{2}}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}|OQ|h$=$\frac{1}{2}$|（t²+4）（s²+1）-2ts|=$\frac{1}{2}$|s²t+²3s²+（s-t）²+4|≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)s=t=0時(shí)，取等號(hào)，∴△OPQ面積的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．