Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（1）求曲線C在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C交于不同的兩點A，B，點M在區(qū)間曲線C上移動，求△ABM面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的對應(yīng)關(guān)系即可得出答案；
（2）求出|AB|和M到直線l的最大距離，從而可得出三角形的最大面積．

解答 解：（1）直線l的普通方程為x-y=0，
曲線C的極坐標(biāo)方程可化為：ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C的普通方程為x²+y²-2x=0，標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+y²=1．
（2）|AB|=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，曲線C的圓心（1，0）到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴M到直線l的最大距離為d+1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
∴△ABM的最大面積為$\frac{1}{2}AB•（d+1）$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，空間距離的計算，屬于中檔題．