Question

1．如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD=60°，AC∩BD=0，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面ABC⊥平面MDO．

Answer 1

分析 （1）由中位線定理得OM∥AB，再證OM∥平面ABD；
（2）利用勾股定理證明OD⊥OM，由菱形的性質(zhì)證明OD⊥AC；從而證明OD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面MDO．

解答 證明：（1）由題意知，O為AC的中點(diǎn)，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴OM∥AB；
又∵OM?平面ABD，BC?平面ABD，
∴OM∥平面ABD；
（2）由題意知，OM=OD=3，$DM=3\sqrt{2}$，
∴OM²+OD²=DM²，
∴∠DOM=90°，
即OD⊥OM；
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD⊥AC；
∵OM∩AC=O，OM，AC?平面ABC，
∴OD⊥平面ABC；
∵OD?平面MDO，
∴平面ABC⊥平面MDO．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行于垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了推理與證明能力，是基礎(chǔ)題目．