Question

13．已知S_n為數列{a_n}的前n項和，且S_n=2a_n-λ（λ是非零常數）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=2a_n+（-1）ⁿlog₂a_n，當a₁=1時，求數列{b_n}的前2n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用數列的遞推式：當n=1時，a₁=S₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，化簡計算即可得到所求通項公式；
（Ⅱ）由a₁=1時，知${a_n}={2^{n-1}}$，求得${b_n}={2^n}+{（{-1}）^n}（n-1）$，運用數列的求和方法：分組求和，結合等比數列的求和公式，化簡計算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）當n≥2時，S_n=2a_n-λ．①，S_n-1=2a_n-1-λ②
①-②可得a_n=2a_n-1（n≥2），
當n=1時，a₁=λ，當n=2時，a₂=2a₁=2λ，
故數列{a_n}的通項公式為${a_n}=λ{2^{n-1}}$．
（Ⅱ）由a₁=1時，知${a_n}={2^{n-1}}$，
故${b_n}={2^n}+{（{-1}）^n}（n-1）$，記數列{b_n}的前2n項和為T_2n，
T2n=（21-0）+（22+1）+（23-2）+…+[22n++（2n-1）]
=（2+2²+2³+…+2²ⁿ）+（-0+1-2+3-…+2n-1）
=$\frac{2（1-{2}^{2n}）}{1-2}$+（1+1+…+1）=2²ⁿ⁺¹-2+n．
故數列{b_n}的前2n項和為2²ⁿ⁺¹-2+n．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，注意運用數列遞推式，考查數列的求和方法：分組求和，注意運用等比數列求和公式，屬于中檔題．