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2.已知橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為32,且過(guò)點(diǎn)(1,32).
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)是否存在直線l:y=kx+m相交于P,Q兩點(diǎn),且滿足:①OP與OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之和為2;②直線l與圓x2+y2=1相切.若存在,求出l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)由橢圓的離心率公式求得a2=4b2,將點(diǎn)(1,32)代入橢圓方程,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)將直線方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及直線的斜率公式,求得m2+k=1,由{01k0,即可求得k的取值范圍,由點(diǎn)到直線的距離即可求得k和m的值,求得直線l的方程.

解答 解:(Ⅰ)依題意,e=ca=12a2=32,則a2=4b2,
由橢圓過(guò)點(diǎn)(1,32).代入橢圓方程:x242+y22=1,
解得:a2=4,b2=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:x24+y2=1
(Ⅱ)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則{y=kx+mx24+y2=1,
整理得:(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
由x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m211+4k2,
由kOP+kOQ=y1x1+y2x2=y1x1+y2x2x1x2=kx1+mx2+kx2+mx1x1x2=2,
2(k-1)x1x2+m(x1+x2)=0,
∴2(k-1)×4m211+4k2+m×(-8km1+4k2)=0,
整理得:m2+k=1,
由△=16(4k2-m2+1)=16(4k2+k),
{4k2+k0m2=1k0,解得:k<-1k,或0<k≤1,
直線與圓x2+y2=1相切,則m1+k2=1,
聯(lián)立解得k=0(舍去),k=-1,
∴m2=2,即m=±2
∴直線l的方程y=x±2

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,直線的斜率公式及點(diǎn)到直線的距離公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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