Question

13．已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若向量$\overrightarrow{m}$=（a+c，sinB），$\overrightarrow{n}$=（b-c，sinA-sinC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）設函數f（x）=tanAsinωxcosωx-cosAcos2ωx（ω＞0），已知其圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，現將y=f（x）的圖象上各點向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，π]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩個向量共線的性質求得 b²+c²-a²=bc，再利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．
（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得g（x）在[0，π]上的值域．

解答 解：（Ⅰ）△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，
若向量$\overrightarrow{m}$=（a+c，sinB），$\overrightarrow{n}$=（b-c，sinA-sinC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
則（a+c）•（sinA-sinC）-sinB（b-c）=0，即（a+c）•（a-c）=b（b-c），
即 b²+c²-a²=bc，∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）設函數f（x）=tanAsinωxcosωx-cosAcos2ωx（ω＞0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
已知其圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=1，
現將y=f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象上各點向左平移$\frac{π}{6}$個單位，
可得 y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，
得到函數y=g（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$） 的圖象，
在[0，π]上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，g（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即g（x）在[0，π]上的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題主要考查兩個向量共線的性質，余弦定理，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．