Question

9．設函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx（a≥1）．
（1）當a=1時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值．
（2）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，函數(shù)f（x）的定義域為x＞0，${f}^{'}（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，由此利用導數(shù)性質能求出f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值．
（2）推導出x＞0，${f}^{'}（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$，由此利用的判別式結合導數(shù)性質能求出f（x）的單調區(qū)間．

解答 解：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-lnx，
函數(shù)f（x）的定義域為x＞0，
${f}^{'}（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為：
$f（x）_{max}=f（e）=e-\frac{1}{e}-lne$=e-$\frac{1}{e}-1$．
最小值為：f（x）_min=f（1）=1-$\frac{1}{1}-ln1$=0．
（2）∵f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx（a≥1），
∴x＞0，${f}^{'}（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$，
當△=a²-4=0，即a=2時，f（x）的單調增區(qū)間為（0，1），（1，+∞），無減區(qū)間；
當△=a²-4＜0，即-2＜a＜2時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
當△=a²-4＞0時，即a＞2時，
f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$），（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞），減區(qū)間為（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)的最值和單調區(qū)間的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)的性質和分類討論思想的合理運用．