Question

7．已知三棱錐S-ABC的底面△ABC為正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心，M，N分別是棱SC，BC的中點(diǎn)，且MN⊥AM，若側(cè)棱$SA=2\sqrt{3}$，則三棱錐S-ABC的外接球的表面積是（　�。�

• A． 12π
• B． 32π
• C． 36π
• D． 48π

Answer 1

分析 由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積積．

解答 解：∵M(jìn)，N分別為棱SC，BC的中點(diǎn)，∴MN∥SB
∵三棱錐S-ABC為正棱錐，
∴SB⊥AC（對(duì)棱互相垂直），∴MN⊥AC
又∵M(jìn)N⊥AM，而AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°
以SA，SB，SC為從同一定點(diǎn)S出發(fā)的正方體三條棱，
將此三棱錐補(bǔ)成以正方體，則它們有相同的外接球，
正方體的對(duì)角線就是球的直徑．∴2R=$\sqrt{3}$SA=6，∴R=3，
∴S=4πR²=36π．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的外接球的體積，考查空間想象能力．三棱錐擴(kuò)展為正方體，它的對(duì)角線長(zhǎng)就是外接球的直徑，是解決本題的關(guān)鍵．