Question

1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c=2，cosB=$\frac{1}{3}$．
（1）若b=2$\sqrt{2}$，求sinA的值；
（2）若點(diǎn)D在邊AC上，且$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由cosB=$\frac{1}{3}$，b=2$\sqrt{2}$，得sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由正弦定理得sinC=$\frac{2}{3}$，從而cosC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由此能求出sinA．
（2）求出$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，由此能求出a的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
c=2，cosB=$\frac{1}{3}$，b=2$\sqrt{2}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
正弦定理得$\frac{c}{sinC}=\frac{2}{sinC}=\frac{sinB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=3，∴sinC=$\frac{2}{3}$，
∵c＜b，∴C為銳角，∴cosC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{\sqrt{5}}{3}+\frac{1}{3}•\frac{2}{3}$=$\frac{2+2\sqrt{10}}{9}$．
（2）∵點(diǎn)D在邊AC上，且$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴|$\overrightarrow{BD}$|²=$\frac{1}{9}{\overrightarrow{BA}}^{2}+\frac{4}{9}{\overrightarrow{BC}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{9}{c}^{2}+\frac{4}{9}{a}^{2}+\frac{4}{9}accosB$
=$\frac{4}{9}+\frac{4}{9}{a}^{2}+\frac{8}{27}a$，
解得a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的正弦值的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查同角三角函數(shù)、正弦定理、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．