Question

16．某電子產(chǎn)品公司前四年的年宣傳費(fèi)x（單位：千萬元）與年銷售量y（單位：百萬部）的數(shù)據(jù)如下表所示：

x（單位：千萬元）	1	2	3	4
y（單位：百萬部）	3	5	6	9

可以求y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=1.9x+1．
（1）該公司下一年準(zhǔn)備投入10千萬元的宣傳費(fèi)，根據(jù)所求得的回歸方程預(yù)測下一年的銷售量m：
（2）根據(jù)下表所示五個散點(diǎn)數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$．

x（單位：千萬元）	1	2	3	4	10
y（單位：百萬部）	3	5	6	9	m

并利用小二乘法的原理說明$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$與$\stackrel{∧}{y}$=1.9x+1的關(guān)系．
參考公式：回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線性回歸方程計(jì)算x=10時$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（2）根據(jù)表中五個散點(diǎn)數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$以及回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程，
解釋回歸直線與最小二乘法的關(guān)系即可．

解答 解：（1）根據(jù)y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=1.9x+1，
計(jì)算x=10時，$\stackrel{∧}{y}$=1.9×10+1=20；
即公司投入10千萬元的宣傳費(fèi)，預(yù)測下一年的銷售量m=20百萬部；
（2）根據(jù)下表所示五個散點(diǎn)數(shù)據(jù)，
計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+10）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（3+5+6+9+20）=6.6；

x（單位：千萬元）	1	2	3	4	10
y（單位：百萬部）	3	5	6	9	20

∴$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=1×3+2×5+3×6+4×9+10×20=267，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=1²+2²+3²+4²+10²=130，
∴回歸系數(shù)為$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{267-5×4×6.6}{130-5{×4}^{2}}$=2.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=6.6-2.7×4=-4.2，
求出線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=2.7x-4.2；
散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，
稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線；
使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

點(diǎn)評 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了最小二乘法的應(yīng)用問題，是綜合題．