Question

3．已知拋物線y²=4x的焦點為F，準線與x軸的交點為M，過F且傾斜角為銳角的直線l與拋物線交于A、B兩點，若∠AMB=60°，則直線l的斜率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設AB方程y=k（x-1），與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，利用tan∠AMB=$\sqrt{3}$，建立k的方程，求出k，即可得出結論．

解答 解：焦點F（1，0），M（-1，0），設AB方程y=k（x-1），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵∠AMB=60°，∴tan∠AMB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}{1+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，
整理可得2k（x₁-x₂）=$\sqrt{3}$（x₁+1）（x₂+1）+$\sqrt{3}$y₁y₂…（*）
y=k（x-1），與y²=4x聯(lián)立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
可得x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，y₁y₂=-4
代入（*）可得2k（x₁-x₂）=$\sqrt{3}$•$\frac{4}{{k}^{2}}$，∴x₁-x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{{k}^{3}}$，
∴（$\frac{4}{{k}^{2}}$+2）²-4=（$\frac{2\sqrt{3}}{{k}^{3}}$）²，
∵k＞0，∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查差角的正切公式，正確運用韋達定理是關鍵．