Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx．
（1）證明：f（x）≤x-1；
（2）若對(duì)任意x＞0，不等式$f（x）≤ax+\frac{a-1}{x}-1$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最值即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x），求出導(dǎo)函數(shù)h'（x），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對(duì)a進(jìn)行分類討論，逐步確定滿足體題意的a的范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）證明：令g（x）=f（x）-（x-1），則 $g'（x）=\frac{1}{x}-1$．
當(dāng)x=1，g'（x）=0．所以0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，x＞1時(shí)，g'（x）＜0，
即g（x）在（0，1）遞增；在（1，+∞）遞減；
所以g（x）≤g（1）=0，f（x）≤x-1…（4分）
（2）記h（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx，則在（0，+∞）上，h（x）≥1，
$h'（x）=a+\frac{1-a}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-x+1-a}}{x^2}=\frac{{a（{x+1-\frac{1}{a}}）（{x-1}）}}{x^2}（{x＞0}）$，…（5分）
①若0＜a≤$\frac{1}{2}$，-1+$\frac{1}{a}$＞1，x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）＜h（1）=2a-1≤0，
這與h（x）≥1上矛盾；…（6分）
②若$\frac{1}{2}$＜a＜1，0＜-1+$\frac{1}{a}$＜1，（1，+∞）上h'（x）＞0，h（x）遞增，而h（1）=2a-1＜1，
這與這與h（x）≥1上矛盾；…（7分）
③若a≥1，-1+$\frac{1}{a}$≤0，
∴x∈（0，1）時(shí)時(shí)h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增
∴最小值h（1）=2a-1≥1，即h（x）≥1恒成立…（9分）
④若a=0，$h'（x）=\frac{-x+1}{x^2}$，x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（1）=-1＜0，這與h（x）≥1矛盾…（10分）
⑤若a＜0，$-1+\frac{1}{a}＜0$，x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（1）=2a-1＜0，這與h（x）≥1矛盾…（11分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的構(gòu)造和導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，難點(diǎn)是對(duì)參數(shù)的分類討論和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．