Question

19．已知n=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（6cosx-sinx）dx$，則二項式${（x+\frac{2}{\sqrt{x}}）}^{n}$展開式中常數(shù)項是（　　）

• A． 第7項
• B． 第8項
• C． 第9項
• D． 第10項

Answer 1

分析 利用微積分基本定理、二項式定理的通項公式即可得出．

解答 解：n=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}（6cosx-sinx）dx$=$（6sinx+cosx）{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=12，
則二項式$（x+\frac{2}{\sqrt{x}}）^{12}$的通項公式：T_r+1=${∁}_{12}^{r}$${x}^{12-r}（\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}$=2^r${∁}_{12}^{r}$${x}^{12-\frac{3r}{2}}$，
令12-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=8．
∴展開式中常數(shù)項是2⁸${∁}_{12}^{8}$，為第9項．
故選：C．

點評 本題考查了微積分基本定理、二項式定理的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．