Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時，f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)遞增得出導(dǎo)函數(shù)f'（x）≥0恒成立，得出a的取值范圍；
（2）代入a值，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的最小值，求出f（$\frac{1}{e}$），f（e）=$\frac{1}{e}$，比較得出最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx．
∴f'（x）=$\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，
若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴x在[1，+∞）上，f'（x）≥0恒成立，
∴a≥1；
（2）當(dāng)a=1時，
f'（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
x∈[$\frac{1}{e}$，1]時，f'（x）＜0，f（x）遞減，
x∈[1，e]時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴最小值為f（1）=0，
f（$\frac{1}{e}$）=e-2＞f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴最大值為e-2，最小值為0．

點(diǎn)評 考查了函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值．屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．