Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，M為PB的中點，平面ADM交PC于N點．
（1）求證：PB⊥DN；
（2）求二面角P-DN-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得PB⊥MA，DA⊥AB，從而得到DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能證明PB⊥DN；
（2）以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，然后分別求出平面PDN與DNA的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值即可求得二面角P-DN-A的余弦值．

解答 （1）證明：∵M為PB的中點，且PA=AB，∴PB⊥MA．
∵∠BAD=90°，∴DA⊥AB．
∵PA⊥底面ABCD，∴DA⊥PA．
∵PA∩AB=A，∴DA⊥平面PAB，則PB⊥DA．
∵AM∩DA=A，∴PB⊥平面ADNM，
∵DN?平面ADNM，∴PB⊥DN；
（2）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），
P（0，0，2）．
由（1）知，PB⊥平面ADNM，∴平面ADNM的法向量為
$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，2）．
設(shè)平面PDN的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=2，則y=2，x=1．
∴$\overrightarrow{n}$=（1，2，2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴二面角P-DN-A的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查線線平行、線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．