Question

18．將圓x²+y²=1上每一點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{4}$，得曲線C．
（Ⅰ）寫出C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：4x+y+1=0與C的交點為P₁，P₂，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P₁ P₂的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由坐標(biāo)變換公式$\left\{\begin{array}{l}x'=\frac{1}{4}x\\ y'=y.\end{array}\right.$，得x=4x'，y=y'，代入x²+y²=1，能求出曲線C的參數(shù)方程．
（Ⅱ）由題知，${P_1}（-\frac{1}{4}，0），{P_2}（0，-1）$，從而線段P₁ P₂中點$M（-\frac{1}{8}，-\frac{1}{2}）$，由直線l的斜率k=-4，得線段P₁ P₂的中垂線斜率為$\frac{1}{4}$，由此能求出線段P₁ P₂的中垂線的極坐標(biāo)方程．

解答 解：（Ⅰ）由坐標(biāo)變換公式$\left\{\begin{array}{l}x'=\frac{1}{4}x\\ y'=y.\end{array}\right.$得x=4x'，y=y'--------------------------------------（2分）
代入x²+y²=1中得16x'²+y'²=1，----------------------------------------------------------------------（3分）
故曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}cosθ\\ y=sinθ.\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．-----------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）由題知，${P_1}（-\frac{1}{4}，0），{P_2}（0，-1）$，---------------------------------------------------------------------（6分）
故線段P₁ P₂中點$M（-\frac{1}{8}，-\frac{1}{2}）$，-----------------------------------------------------------------------------（7分）
∵直線l的斜率k=-4∴線段P₁ P₂的中垂線斜率為$\frac{1}{4}$，
故線段P₁ P₂的中垂線的方程為$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}（x+\frac{1}{8}）$--------------------------------------------------------（8分）
即8x-32y-15=0，將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得
其極坐標(biāo)方程為8ρcosθ-32ρsinθ-15=0．---------------------------------------------------------（10分）

點評 本題考查曲線的參數(shù)方程、線段中垂線的極坐標(biāo)方程的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．