Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點O的圓M（圓心M在第Ⅰ象限）與x軸正半軸交于點A（2，0），弦OA將圓M截得兩段圓弧的長度比為1：5．
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點B是直線l：$\sqrt{3}$x+y+2$\sqrt{3}$=0上的動點，BC、BD是圓M的兩條切線，C、D為切點，求四邊形BCMD面積的最小值；
（3）若過點M且垂直于y軸的直線與圓M交于點E、F，點P為直線x=5上的動點，直線PE、PF與圓M的另一個交點分別為G、H（GH與EF不重合），求證：直線GH過定點．

Answer 1

分析 （1）由弦OA將圓M截得兩段圓弧的長度比為1：5，可得∠OMA=60°，得△OMA為等邊三角形，由此求出圓心坐標(biāo)和半徑，則圓M的方程可求；
（2）四邊形BCMD得面積S=2×$\frac{1}{2}|BC|×2=2|BC|$，而|BC|=$\sqrt{|BM{|}^{2}-4}$，要使四邊形BCMD面積最小，則|BM|最小即可．此時BM⊥l，再由得到直線的距離公算求解得答案；
（3）設(shè)點P（5，y₀），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由題意知：E（-1，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（$3，\sqrt{3}$），由題意可得2x₁x₂-7（x₁+x₂）+20=0，當(dāng)斜率k存在時，設(shè)直線GH的方程為y=kx+b，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（1+{k}^{2}）{x}^{2}+（2kb-2\sqrt{3}k-2）x+^{2}-2\sqrt{3}b=0$．利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合上式可得b=$\sqrt{3}-2k$或b=$\sqrt{3}-5k$．可得當(dāng)b=$\sqrt{3}-2k$時，直線GH的方程為y=k（x-2）+$\sqrt{3}$，過定點（2，$\sqrt{3}$）；當(dāng)b=$\sqrt{3}-5k$時，直線GH的方程為y=k（x-5）+$\sqrt{3}$，過定點（5，$\sqrt{3}$）．
由GH與EF不重合，知點（5，$\sqrt{3}$）不合題意．當(dāng)斜率k不存在時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得G（2，2$\sqrt{3}$），H（2，0），知點（2，$\sqrt{3}$）適合．

解答 （1）解：∵弦OA將圓M截得兩段圓弧的長度比為1：5，
∴∠OMA=60°，則△OMA為等邊三角形，
又∵|OA|=2，∴圓心M得坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），r=2．
∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$；
（2）解：∵四邊形BCMD得面積S=2×$\frac{1}{2}|BC|×2=2|BC|$，
在Rt△BCM中，|BC|=$\sqrt{|BM{|}^{2}-4}$，要使四邊形BCMD面積最小，則|BM|最小即可．
此時BM⊥l，
∴$|BM{|}_{min}=\frac{|\sqrt{3}+\sqrt{3}+2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}=2\sqrt{3}$，∴$|BC{|}_{min}=2\sqrt{2}$．
∴四邊形BCMD面積的最小值為$4\sqrt{2}$；
（3）證明：設(shè)點P（5，y₀），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由題意知：E（-1，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（$3，\sqrt{3}$），
∴${k}_{PE}=\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{6}=\frac{{y}_{1}-\sqrt{3}}{{x}_{1}+1}={k}_{GE}$，${k}_{PF}=\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{2}=\frac{{y}_{2}-\sqrt{3}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}={k}_{FH}$．
∴k_PF=3k_PE，
∴$\frac{（{y}_{2}-\sqrt{3}）^{2}}{（{x}_{2}-\sqrt{3}）^{2}}=9×\frac{（{y}_{1}-\sqrt{3}）^{2}}{（{x}_{1}+1）^{2}}$，①
∵點G、H在圓M上，∴將$（{y}_{1}-\sqrt{3}）^{2}=4-（{x}_{1}-1）^{2}$和$（{y}_{2}-\sqrt{3}）^{2}=4-（{x}_{2}-1）^{2}$代入①整理得：
2x₁x₂-7（x₁+x₂）+20=0，②
當(dāng)斜率k存在時，設(shè)直線GH的方程為y=kx+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（1+{k}^{2}）{x}^{2}+（2kb-2\sqrt{3}k-2）x+^{2}-2\sqrt{3}b=0$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2kb-2\sqrt{3}k-2}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}-2\sqrt{3}b}{1+{k}^{2}}$．
代入②整理得：$^{2}+（7k-2\sqrt{3}）b+10{k}^{2}-7\sqrt{3}k+3=0$．
∴$（b+2k-\sqrt{3}）（b+5k-\sqrt{3}）=0$，解得b=$\sqrt{3}-2k$或b=$\sqrt{3}-5k$．
當(dāng)b=$\sqrt{3}-2k$時，直線GH的方程為y=k（x-2）+$\sqrt{3}$，過定點（2，$\sqrt{3}$）；
當(dāng)b=$\sqrt{3}-5k$時，直線GH的方程為y=k（x-5）+$\sqrt{3}$，過定點（5，$\sqrt{3}$）．
∵GH與EF不重合，∴點（5，$\sqrt{3}$）不合題意．
當(dāng)斜率k不存在時，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得G（2，2$\sqrt{3}$），H（2，0）．
∴點（2，$\sqrt{3}$）適合．
綜上，直線GH過定點（2，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理運算能力，難度較大．