Question

 

如圖5所示，在三棱錐中，，平面平面，于點(diǎn)， ，，．

（1）求三棱錐的體積；

（2）證明△為直角三角形．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

（1）證明：因?yàn)槠矫?sub>平面，平面平面， 平面，，

所以平面．…………………………………………………………………………………2分

記邊上的中點(diǎn)為，在△中，因?yàn)?sub>，

所以．

因?yàn)?sub>，，

所以．………………………………………………………4分

所以△的面積．……………………………………………………5分

因?yàn)?sub>，

所以三棱錐的體積．……………………7分

（2）證法1：因?yàn)?sub>，所以△為直角三角形．

因?yàn)?sub>，，

所以．………………9分

連接，在△中，

因?yàn)?sub>，，，

所以．…………10分

由（1）知平面，又平面，

所以．

在△中，因?yàn)?sub>，，，

所以．……………………………………………………12分

在中，因?yàn)?sub>，，，

所以．………………………………………………………………………………13分

所以為直角三角形．……………………………………………………………………………14分

證法2：連接，在△中，因?yàn)?sub>，，，

所以．…………8分

在△中，，，，

所以，所以．………………10分

由（1）知平面，

因?yàn)?sub>平面，

所以．

    因?yàn)?sub>，

所以平面．…………………………………………………………………………………12分

    因?yàn)?sub>平面，所以．

所以為直角三角形．……………………………………………………………………………14分