Question

 

如圖5所示，在三棱錐中，，平面平面，于點(diǎn)， ，，．

（1）證明△為直角三角形；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系、直線(xiàn)與平面所成角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

（1）證明1：因?yàn)槠矫?sub>平面，平面平面， 平面，，

所以平面．…………………………………………………………………………………1分

記邊上的中點(diǎn)為，在△中，，所以．

因?yàn)?sub>，，所以．………………3分

因?yàn)?sub>，所以△為直角三角形．

因?yàn)?sub>，，

所以．………4分

連接，在△中，因?yàn)?sub>，，

所以．…………5分

因?yàn)?sub>平面，平面，所以．

在△中，因?yàn)?sub>，，

所以．………………………………6分

在中，因?yàn)?sub>，，，

所以．

所以為直角三角形．……………………………………………………7分

證明2：因?yàn)槠矫?sub>平面，平面平面， 平面，，

所以平面．……………………………………………………1分

記邊上的中點(diǎn)為，在△中，因?yàn)?sub>，所以．

因?yàn)?sub>，，所以．………………3分

連接，在△中，因?yàn)?sub>，，，

所以．………………………………4分

在△中，因?yàn)?sub>，，，

所以，所以．………………………………………5分

因?yàn)?sub>平面，平面，

所以．…………………………………………………………6分

因?yàn)?sub>，所以平面．

    因?yàn)?sub>平面，所以．

所以為直角三角形．……………………………………………………7分

 

（2）解法1：過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，垂足為，連，

則為直線(xiàn)與平面所成的角．…………………………………8分

由（1）知，△的面積．…………………9分

因?yàn)?sub>，所以．…………………………10分

由（1）知為直角三角形，，，

所以△的面積．…………………11分

因?yàn)槿�棱錐與三棱錐的體積相等，即，

即，所以．……………………………………12分

在△中，因?yàn)?sub>，，

所以．………………………………13分

因?yàn)?sub>．

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．…………………………………………………14分

解法2：過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，

則與平面所成的角等于與平面所成的角．……………………………………8分

由（1）知，，且，

所以平面．

因?yàn)?sub>平面，

所以平面平面．

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

則平面．

所以為直線(xiàn)與平面所成的角．……10分

在△中，因?yàn)?sub>，，

所以．……………………………………11分因?yàn)?sub>，所以，即，所以．………………………………12分

由（1）知，，且，

所以．……………………………………13分

因?yàn)?sub>，

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．…………………………………………………14分

解法3：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接、，……………………………………8分

在△中，，

所以，即．

在△中，因?yàn)?sub>，，，

所以，

所以．

因?yàn)?sub>，

所以平面．…………………………………………………………………………………9分

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

因?yàn)?sub>平面，

所以．

因?yàn)?sub>，

所以平面．

所以為直線(xiàn)與平面所成的角．……………………………………………………11分

由（1）知，，

所以．

在△中，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，

所以．………………………………………………………12分

在△中，，，，

所以，即．……………………………………………………………13分

因?yàn)?sub>．

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．…………………………………………………14分

解法4：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線(xiàn)分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，……………………………………………………………………8分

    則，，，．

于是，，．

設(shè)平面的法向量為，

則

即

取，則，．

所以平面的一個(gè)法向量為．………………………………12分

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，

則．

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．………………………………14分

   

若第（1）、（2）問(wèn)都用向量法求解，給分如下：

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線(xiàn)分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，……………………………………………………………………………1分

    則，，．

于是，．

因?yàn)?sub>，

所以．

所以．

所以為直角三角形．…………………………………………………………7分

（2）由（1）可得，．

于是，，．

設(shè)平面的法向量為，

則即

取，則，．

所以平面的一個(gè)法向量為．…………………………………12分

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，

則．

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．……………………………14分