Question

 

如圖5所示，在三棱錐中，，平面平面，于點， ，，．

（1）證明△為直角三角形；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成角、空間向量及坐標運算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）

（1）證明1：因為平面平面，平面平面， 平面，，

所以平面．…………………………………………………………………………………1分

記邊上的中點為，在△中，，所以．

因為，，所以．………………3分

因為，所以△為直角三角形．

因為，，

所以．………4分

連接，在△中，因為，，

所以．…………5分

因為平面，平面，所以．

在△中，因為，，

所以．………………………………6分

在中，因為，，，

所以．

所以為直角三角形．……………………………………………………7分

證明2：因為平面平面，平面平面， 平面，，

所以平面．……………………………………………………1分

記邊上的中點為，在△中，因為，所以．

因為，，所以．………………3分

連接，在△中，因為，，，

所以．………………………………4分

在△中，因為，，，

所以，所以．………………………………………5分

因為平面，平面，

所以．…………………………………………………………6分

因為，所以平面．

    因為平面，所以．

所以為直角三角形．……………………………………………………7分

 

（2）解法1：過點作平面的垂線，垂足為，連，

則為直線與平面所成的角．…………………………………8分

由（1）知，△的面積．…………………9分

因為，所以．…………………………10分

由（1）知為直角三角形，，，

所以△的面積．…………………11分

因為三棱錐與三棱錐的體積相等，即，

即，所以．……………………………………12分

在△中，因為，，

所以．………………………………13分

因為．

所以直線與平面所成角的正弦值為．…………………………………………………14分

解法2：過點作，設(shè)，

則與平面所成的角等于與平面所成的角．……………………………………8分

由（1）知，，且，

所以平面．

因為平面，

所以平面平面．

過點作于點，連接，

則平面．

所以為直線與平面所成的角．……10分

在△中，因為，，

所以．……………………………………11分因為，所以，即，所以．………………………………12分

由（1）知，，且，

所以．……………………………………13分

因為，

所以直線與平面所成角的正弦值為．…………………………………………………14分

解法3：延長至點，使得，連接、，……………………………………8分

在△中，，

所以，即．

在△中，因為，，，

所以，

所以．

因為，

所以平面．…………………………………………………………………………………9分

過點作于點，

因為平面，

所以．

因為，

所以平面．

所以為直線與平面所成的角．……………………………………………………11分

由（1）知，，

所以．

在△中，點、分別為邊、的中點，

所以．………………………………………………………12分

在△中，，，，

所以，即．……………………………………………………………13分

因為．

所以直線與平面所成角的正弦值為．…………………………………………………14分

解法4：以點為坐標原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，……………………………………………………………………8分

    則，，，．

于是，，．

設(shè)平面的法向量為，

則

即

取，則，．

所以平面的一個法向量為．………………………………12分

設(shè)直線與平面所成的角為，

則．

所以直線與平面所成角的正弦值為．………………………………14分

   

若第（1）、（2）問都用向量法求解，給分如下：

（1）以點為坐標原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，……………………………………………………………………………1分

    則，，．

于是，．

因為，

所以．

所以．

所以為直角三角形．…………………………………………………………7分

（2）由（1）可得，．

于是，，．

設(shè)平面的法向量為，

則即

取，則，．

所以平面的一個法向量為．…………………………………12分

設(shè)直線與平面所成的角為，

則．

所以直線與平面所成角的正弦值為．……………………………14分