圖5
(1)證明平面PAB⊥平面PCM;
(2)證明線段PC的中點(diǎn)為球O的球心;
(3)若球O的表面積為25π,求三棱錐P—ABC的體積.
(1)證明:∵AC=BC,M為AB的中點(diǎn),
∴CM⊥AB.∵PA⊥平面ABC,CM平面ABC,∴PA⊥CM.
∵AB∩PA=A,AB平面PAB,PA平面PAB,∴CM⊥平面PAB.
∵CM平面PCM,∴平面PAB⊥平面PCM.
(2)證明:由(1)知CM⊥平面PAB.
∵PM平面PAB,∴CM⊥PM.
∵PA⊥平面ABC,AC平面ABC,∴PA⊥AC.
取PC的中點(diǎn)N,連接MN、AN.
在Rt△PAC中,點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn),∴AN=PN=NC.
在Rt△PCM中,點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn).∴MN=PN=NC.
∴PN=NC=AN=MN.∴點(diǎn)N是球O的球心,即線段PC的中點(diǎn)為球O的球心.
(注:本題答案中符號(hào)“”等價(jià)于“”)
(3)解:依題意得4π·NC2=25π,解得NC=.
∴PC=5,PA===4.
∵AB=AC=BC=3,∴△ABC的面積S△ABC=×32=.
∴三棱錐P—ABC的體積為V=×S△ABC×PA=××4=3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖4,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中,分別是邊上的點(diǎn),,是的中點(diǎn),與交于點(diǎn),將沿折起,得到如圖5所示的三棱錐,其中.
(1) 證明://平面;
(2) 證明:平面;
(3) 當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省廣州市高三綜合測(cè)試(一)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖5所示,在三棱錐中,,平面平面,于點(diǎn), ,,.
(1)證明△為直角三角形;
(2)求直線與平面所成角的正弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012廣州一模試題及答案(數(shù)學(xué)文) 題型:解答題
如圖5所示,在三棱錐中,,平面平面,于點(diǎn), ,,.
(1)求三棱錐的體積;
(2)證明△為直角三角形.
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