如圖5所示,在三棱錐P—ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=3,M為AB的中點(diǎn),四點(diǎn)P、A、M、C都在球O的球面上.

圖5

(1)證明平面PAB⊥平面PCM;

(2)證明線段PC的中點(diǎn)為球O的球心;

(3)若球O的表面積為25π,求三棱錐P—ABC的體積.

(1)證明:∵AC=BC,M為AB的中點(diǎn),

∴CM⊥AB.∵PA⊥平面ABC,CM平面ABC,∴PA⊥CM.

∵AB∩PA=A,AB平面PAB,PA平面PAB,∴CM⊥平面PAB.

∵CM平面PCM,∴平面PAB⊥平面PCM.

(2)證明:由(1)知CM⊥平面PAB.

∵PM平面PAB,∴CM⊥PM.

∵PA⊥平面ABC,AC平面ABC,∴PA⊥AC.

取PC的中點(diǎn)N,連接MN、AN.

在Rt△PAC中,點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn),∴AN=PN=NC.

在Rt△PCM中,點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn).∴MN=PN=NC.

∴PN=NC=AN=MN.∴點(diǎn)N是球O的球心,即線段PC的中點(diǎn)為球O的球心.

(注:本題答案中符號(hào)“”等價(jià)于“”)

(3)解:依題意得4π·NC2=25π,解得NC=.

∴PC=5,PA===4.

∵AB=AC=BC=3,∴△ABC的面積SABC=×32=.

∴三棱錐P—ABC的體積為V=×SABC×PA=××4=3.

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(1) 證明://平面

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如圖5所示,在三棱錐中,,平面平面,于點(diǎn), ,,

(1)證明△為直角三角形;

(2)求直線與平面所成角的正弦值

 

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如圖5所示,在三棱錐中,,平面平面,于點(diǎn), ,,

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如圖5所示,在三棱錐中,,平面平面,于點(diǎn), ,,

(1)證明△為直角三角形;

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

 

 

 

 

 

 

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