Question

4．已知定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁、x₂滿(mǎn)足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，且f（1）=0，則f（2017）=（　�。�

• A． 4032
• B． 2016
• C． 2017
• D． 4034

Answer 1

分析 運(yùn)用賦值法，分別求出f（2），f（3），f（4），總結(jié)規(guī)律得到f（n）=2n-2，由此能求出f（2017）的值．

解答 解：f（1）=0，
f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，
f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，
f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，
…
∴f（n）=2n-2．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=2×1-2=0，結(jié)論成立．
（2）假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即f（k）=2k-2，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k-2+2=2k，
結(jié)論也成立，
由（1）、（2）知，f（n）=2n-2．
∴f（2017）=2×2017-2=4032．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，注意運(yùn)用賦值法，歸納猜想并證明，考查運(yùn)算能力和推理能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意總結(jié)規(guī)律．