Question

19．已知橢圓的焦點是F₁（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{3}$），離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，若點P在橢圓上，且$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=$\frac{2}{3}$，則∠F₁PF₂的大小為（　�。�

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由題意可設(shè)題意的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得：c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出可得：橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由橢圓定義可得m+n=4，由$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=$\frac{2}{3}$，可得mncos∠F₁PF₂=$\frac{2}{3}$，利用余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，聯(lián)立即可得出．

解答 解：由題意可設(shè)題意的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則c=$\sqrt{3}$，離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，b=1．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則m+n=4，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=$\frac{2}{3}$，∴mncos∠F₁PF₂=$\frac{2}{3}$，
又（2c）²=$（2\sqrt{3}）^{2}$=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，
∴12=4²-2mn-2×$\frac{2}{3}$，解得mn=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{4}{3}$cos∠F₁PF₂=$\frac{2}{3}$，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$，
∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．