Question

19．已知平面向量$\vec a$，$\vec b$，$\vec e$滿(mǎn)足|$\vec e}$|=1，$\vec a$•$\vec e$=2，$\vec b$•$\vec e$=3，|$\vec a$-$\vec b}$|=$\sqrt{5}$，則$\vec a$•$\vec b$的最小值為5．

Answer 1

分析 設(shè)出三個(gè)向量的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積關(guān)系得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的橫坐標(biāo)，根據(jù)|$\vec a$-$\vec b}$|=$\sqrt{5}$得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的縱坐標(biāo)的關(guān)系，代入數(shù)量積公式，利用二次函數(shù)性質(zhì)得出最小值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{e}$=（1，0），$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=x₁=2，$\overrightarrow•\overrightarrow{e}$=x₂=3，即$\overrightarrow{a}$=（2，y₁），$\overrightarrow$=（3，y₂），
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（-1，y₁-y₂）．
∵|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，∴（y₁-y₂）²=4，∴y₁=y₂±2．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=6+y₁y₂=6+y₂（y₂±2）=y₂²±2y₂+6=（y₂±1）²+5≥5，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．