【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）試問線段上是否存在點，使與面所成角的正弦值為？若存在，求出此時的長，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）連接交于點，得是的中位線，再由線面平行的判定定理即可證明；

（2）建立直角坐標系，由兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角；

（3）設(shè)點，，表示出向量，由線面角的夾角公式求出的值即可判斷.

（1）如圖，連接交于點，

因為是直三棱柱，所以四邊形是矩形，

點為的中點，又為中點，

所以是的中位線，所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）因為是直三棱柱，，所以、、兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標系，設(shè)，

則，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量，則

，令，則，，

所以，

易知平面的法向量，

由二面角是銳角，

所以，

即二面角的余弦值為；

（3）設(shè)線段上存在點，，

則，

由（2）知，平面平面的法向量，

因為與面所成角的正弦值為，

所以，

解得，

所以在線段上不存在點，使得與面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點，將沿折起，使點到達點的位置，連接，，為的中點．

（Ⅰ）證明：面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，點，點在圓上運動，的垂直平分線交于點．

（1）求證：為定值及動點的軌跡的方程；

（2）不在軸上的點為上任意一點，與關(guān)于原點對稱，直線交于另外一點．求證：直線與直線的斜率的乘積為定值，并求出該定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】世界讀書日又稱“世界圖書日”，設(shè)立的目的是希望世界各地的人，無論你是年老還是年輕，都能享受閱讀的樂趣，都能尊重和感謝為人類文明做出巨大貢獻的文學、文化、科學、思想大師們，都能保護知識產(chǎn)權(quán).某單位共有600人，其年齡與人數(shù)分布表如下：

年齡段

人數(shù)（單位：人）

150

210

180

60

約定：年齡在為青年人，在為中老年人.今年年初，該單位開展“每天閱讀1小時”活動，為了了解員工閱讀1小時是否與年齡相關(guān)，一個月后按照分層抽樣抽取30人進行調(diào)查.

（1）抽出的青年人與中老年人數(shù)量分別為多少？并估算單位這600人的平均年齡；

（2）若所抽取出的青年人與中老年人中分別有6人和7人平均每天閱讀達1小時，其余人都沒達1小時.完成下列2×2列聯(lián)表，并回答能否由90%的把握認為年齡與閱讀達1小時有關(guān)？

閱讀達1小時

閱讀沒達1小時

總計

青年

6

中年

7

總計

30

參考公式：

臨界值表：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知三棱錐P-ABC（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：

（1）證明：平面平面ABC；

（2）若點M在棱PA上運動，當直線BM與平面PAC所成的角最大時，求直線MA與平面MBC所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣，為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機投擲2000個點，己知恰有800個點落在陰影部分，據(jù)此可估計陰影部分的面積是

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC， ，求二面角A-PB-C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義：若函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)（），則稱函數(shù)是“雙奇函數(shù)” ．函數(shù)．

（1）若函數(shù)是“雙奇函數(shù)”，求實數(shù)的值；

（2）假設(shè)．

（i）在（1）的條件下，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（ii）若，討論函數(shù)的極值點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為，在同一平面直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線，以原點為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.

（Ⅰ）求曲線的極坐標方程；

（Ⅱ）若過點（極坐標）且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，弦的中點為，求的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案