分析 (Ⅰ)只需證明BB1⊥AC,BD⊥AC,即可得AC⊥平面BB1D,平面AB1C⊥平面BB1D…(4分)
(Ⅱ)求出${V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}×2×(\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\sqrt{3}+\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}})$=$\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$,${V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\sqrt{3}$,即可得組合體體積為$V={V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}+{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{{13\sqrt{3}}}{6}$
解答 解:(Ⅰ)∵BB1⊥平面ABCD∴BB1⊥AC
在菱形ABCD中,BD⊥AC
又BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D…(2分)
∵AC?平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面BB1D…(4分)
(Ⅱ)${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×2×sin120°=\sqrt{3}$,則${S_{△{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…(6分)
∴${V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}×2×(\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\sqrt{3}+\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}})$=$\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$…(8分)
${V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{3}{2}{V_{{A_1}-ACD}}$,
由${V_{{A_1}-ACD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×2=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$知,${V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\sqrt{3}$…(10分)
故組合體體積為$V={V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}+{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{{13\sqrt{3}}}{6}$…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定,組合體的體積計(jì)算,屬于中檔題.
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A. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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A. | $({\frac{3}{2},\frac{5}{3}})$ | B. | $({\frac{5}{3},2})$ | C. | (2,3) | D. | $({\frac{3}{2},3})$ |
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A. | 1 | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | 2 |
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