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4.如圖所示的幾何體是由棱臺ABC-A1B1C1和棱錐D-AA1C1C拼接而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形,且∠BAD=60°,BB1⊥平面ABCD,BB1=2A1B1=2.(V=13hS+S+SS
(Ⅰ)求證:平面AB1C⊥平面BB1D;
(Ⅱ)求該組合體的體積.

分析 (Ⅰ)只需證明BB1⊥AC,BD⊥AC,即可得AC⊥平面BB1D,平面AB1C⊥平面BB1D…(4分)
(Ⅱ)求出VA1B1C1ABC=13×2×34+3+34×3=736,VDA1ACC1=3,即可得組合體體積為V=VA1B1C1ABC+VDA1ACC1=1336

解答 解:(Ⅰ)∵BB1⊥平面ABCD∴BB1⊥AC
在菱形ABCD中,BD⊥AC
又BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D…(2分)
∵AC?平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面BB1D…(4分)
(Ⅱ){S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×2×sin120°=\sqrt{3},則{S_{△{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}…(6分)
{V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}×2×(\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\sqrt{3}+\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}})=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}…(8分)
{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{3}{2}{V_{{A_1}-ACD}},
{V_{{A_1}-ACD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×2=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}知,{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\sqrt{3}…(10分)
故組合體體積為V={V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}+{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{{13\sqrt{3}}}{6}…(12分)

點評 本題考查了面面垂直的判定,組合體的體積計算,屬于中檔題.

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