4.如圖所示的幾何體是由棱臺(tái)ABC-A1B1C1和棱錐D-AA1C1C拼接而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠BAD=60°,BB1⊥平面ABCD,BB1=2A1B1=2.(${V_{棱臺(tái)}}=\frac{1}{3}h({{S_上}+{S_下}+\sqrt{{S_上}{S_下}}})$)
(Ⅰ)求證:平面AB1C⊥平面BB1D;
(Ⅱ)求該組合體的體積.

分析 (Ⅰ)只需證明BB1⊥AC,BD⊥AC,即可得AC⊥平面BB1D,平面AB1C⊥平面BB1D…(4分)
(Ⅱ)求出${V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}×2×(\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\sqrt{3}+\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}})$=$\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$,${V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\sqrt{3}$,即可得組合體體積為$V={V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}+{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{{13\sqrt{3}}}{6}$

解答 解:(Ⅰ)∵BB1⊥平面ABCD∴BB1⊥AC
在菱形ABCD中,BD⊥AC
又BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D…(2分)
∵AC?平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面BB1D…(4分)
(Ⅱ)${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×2×sin120°=\sqrt{3}$,則${S_{△{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…(6分)
∴${V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}×2×(\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\sqrt{3}+\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}})$=$\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$…(8分)
${V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{3}{2}{V_{{A_1}-ACD}}$,
由${V_{{A_1}-ACD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×2=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$知,${V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\sqrt{3}$…(10分)
故組合體體積為$V={V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}+{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{{13\sqrt{3}}}{6}$…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定,組合體的體積計(jì)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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6.已知F1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),點(diǎn)P是C1與C2的公共點(diǎn),若橢圓C1的離心率e1∈($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$],∠F1PF2=$\frac{π}{2}$,則雙曲線C2的離心率e2的最小值為(  )
A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$B.$\frac{\sqrt{6}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$\sqrt{3}$

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A.$({\frac{3}{2},\frac{5}{3}})$B.$({\frac{5}{3},2})$C.(2,3)D.$({\frac{3}{2},3})$

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