分析 (Ⅰ)只需證明BB1⊥AC,BD⊥AC,即可得AC⊥平面BB1D,平面AB1C⊥平面BB1D…(4分)
(Ⅱ)求出VA1B1C1−ABC=13×2×(√34+√3+√√34×√3)=7√36,VD−A1ACC1=√3,即可得組合體體積為V=VA1B1C1−ABC+VD−A1ACC1=13√36
解答 解:(Ⅰ)∵BB1⊥平面ABCD∴BB1⊥AC
在菱形ABCD中,BD⊥AC
又BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D…(2分)
∵AC?平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面BB1D…(4分)
(Ⅱ){S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×2×sin120°=\sqrt{3},則{S_{△{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}…(6分)
∴{V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}×2×(\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\sqrt{3}+\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}})=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}…(8分)
{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{3}{2}{V_{{A_1}-ACD}},
由{V_{{A_1}-ACD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×2=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}知,{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\sqrt{3}…(10分)
故組合體體積為V={V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}+{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{{13\sqrt{3}}}{6}…(12分)
點評 本題考查了面面垂直的判定,組合體的體積計算,屬于中檔題.
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A. | \frac{\sqrt{5}}{2} | B. | \frac{\sqrt{6}}{2} | C. | \sqrt{2} | D. | \sqrt{3} |
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A. | ({\frac{3}{2},\frac{5}{3}}) | B. | ({\frac{5}{3},2}) | C. | (2,3) | D. | ({\frac{3}{2},3}) |
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A. | 1 | B. | \frac{3}{5} | C. | \frac{1}{2} | D. | 2 |
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