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9.中心在原點的橢圓C1與雙曲線C2具有相同的焦點,F1(-c,0),F2(c,0),P為C1與C2在第一象限的交點,|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5,若橢圓C1的離心率${e_1}∈({\frac{3}{5},\frac{2}{3}})$,則雙曲線的離心率e2的范圍是(  )
A.$({\frac{3}{2},\frac{5}{3}})$B.$({\frac{5}{3},2})$C.(2,3)D.$({\frac{3}{2},3})$

分析 設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)(a>b>0),其離心率e1,雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1(m>0,n>0),離心率為e2,由e1=$\frac{c}{a}$∈($\frac{3}{5}$,$\frac{2}{3}$),e2=$\frac{c}{m}$,由△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形,結合橢圓與雙曲線的定義可求得m=2c-a,從而可求得答案.

解答 解:設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),
其離心率為e1,
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1(m>0,n>0),其離心率為e2,
|F1F2|=2c,
∵有公共焦點的橢圓與雙曲線在第一象限的交點為P,
△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形,
∴在橢圓中,|PF1|+|PF2|=2a,而|PF1|=|F1F2|=2c,
∴|PF2|=2a-2c,①
同理,在該雙曲線中,|PF2|=2c-2m;②
由①②可得m=2c-a.
∵e1=$\frac{c}{a}$∈($\frac{3}{5}$,$\frac{2}{3}$),
∴$\frac{3}{2}$<$\frac{1}{{e}_{1}}$<$\frac{5}{3}$,
又e2=$\frac{c}{m}$=$\frac{c}{2c-a}$=$\frac{{e}_{1}}{2{e}_{1}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{e}_{1}}}$∈(2,3).
故選:C.

點評 本題主要考查橢圓與雙曲線的簡單性質:離心率的范圍,考查等價轉換的思想與運算能力,考查倒數關系的靈活應用,屬于中檔題.

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