A. | $({\frac{3}{2},\frac{5}{3}})$ | B. | $({\frac{5}{3},2})$ | C. | (2,3) | D. | $({\frac{3}{2},3})$ |
分析 設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)(a>b>0),其離心率e1,雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1(m>0,n>0),離心率為e2,由e1=$\frac{c}{a}$∈($\frac{3}{5}$,$\frac{2}{3}$),e2=$\frac{c}{m}$,由△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形,結合橢圓與雙曲線的定義可求得m=2c-a,從而可求得答案.
解答 解:設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),
其離心率為e1,
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1(m>0,n>0),其離心率為e2,
|F1F2|=2c,
∵有公共焦點的橢圓與雙曲線在第一象限的交點為P,
△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形,
∴在橢圓中,|PF1|+|PF2|=2a,而|PF1|=|F1F2|=2c,
∴|PF2|=2a-2c,①
同理,在該雙曲線中,|PF2|=2c-2m;②
由①②可得m=2c-a.
∵e1=$\frac{c}{a}$∈($\frac{3}{5}$,$\frac{2}{3}$),
∴$\frac{3}{2}$<$\frac{1}{{e}_{1}}$<$\frac{5}{3}$,
又e2=$\frac{c}{m}$=$\frac{c}{2c-a}$=$\frac{{e}_{1}}{2{e}_{1}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{e}_{1}}}$∈(2,3).
故選:C.
點評 本題主要考查橢圓與雙曲線的簡單性質:離心率的范圍,考查等價轉換的思想與運算能力,考查倒數關系的靈活應用,屬于中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | {x|x<-1或x≥1} | B. | {x|1≤x≤3或x<-1} | C. | {x|x≤-1或x>1} | D. | {x|1<x≤3或x≤-1} |
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A. | 3 | B. | $\frac{10}{3}$ | C. | $\frac{7}{3}$ | D. | $\frac{8}{3}$ |
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